Introdução à Lógica Matemática: Tabela-Verdade - Laboratório de Circuitos Digitais (2024)

Prévia do material em texto

01/02/20201Lógica ComputacionalTabela VerdadeProfa. Ms. Adriane Ap. Loper• Unidade de Ensino:4• Competência da Unidade: Desenvolver do raciocínio lógico e estruturado, possibilitando a análise, avaliação e criação de demonstrações matemáticas, fazendo uso de linguagem simbólica, tabela-verdade e técnicas dedutivas.• Resumo: Nessa aula abordaremos uma introdução à lógica matemática, analisando as proposições, tabelas-verdade e argumentações. • Palavras-chave :Tabela-verdade; Argumentação.• Título da Teleaula: Tabela-Verdade• Teleaula nº: 4ContextualizaçãoA tabela-verdade das proposições foram criadas para chegarmos aos nossos resultados lógicos. Elas foram construídas para traduzir o raciocínio humano e interpretá-lo. Vamos aprender tabela-verdade?Definição de tabela-verdadeTabela-verdadeRecurso empregado na avaliação do valor lógico de uma proposição a partir dos valores lógicos das proposições que a constituem.ppVVFFqqqqVVFFVVFFqpConstrução de Tabela -verdadeSegundo Jacob Daghlian (2006), para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da seguinte maneira:a) Determina-se o número de linhas da tabela-verdade que se quer construir;b) Observa-se a precedência entres os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições que ocorrem no problema;c)Aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir. 1 23 45 601/02/20202Tabelas-verdadeTabela-verdade da negação:p: Montevidéu é a capital da Espanha. (F)~pq: As baleias são peixes. (F)~qr: A metade de 12 é 6. (V)r𝑝 ~𝑝𝑉 𝐹𝐹 𝑉ConjunçãoTabela-verdade da conjunção:p: José é músico. (V) q: Larissa estuda poesia. (V)p  qr: Picasso foi um grande artista. (V) s: Van Gogh foi piloto de moto. (F) r  ~s𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞𝐹 𝐹 𝐹𝐹 𝑉 𝐹𝑉 𝐹 𝐹𝑉 𝑉 𝑉CondicionalTabela-verdade da condicional:p: Hoje é quarta-feira.(V)q: Hoje tem futebol na televisão.(V)p v q:𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞𝐹 𝐹 𝑉𝐹 𝑉 𝑉𝑉 𝐹 𝐹𝑉 𝑉 𝑉Valores lógicosConsiderando os conectivos lógicos e as regras de precedência, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):a) ( ) A proposição ~𝑝 ∧ 𝑟 → 𝑟 ∨ 𝑞 pode ser classificada como uma disjunção.b) ( ) A proposição (𝑝 → 𝑟) ∨ (~𝑞 ∧ 𝑟) pode ser classificada como uma condicional.c) ( ) A proposição ~𝑝 ↔ 𝑞 ∨ ~𝑟 pode ser classificada como uma bicondicional.d) ( ) A proposição 𝑝 → (𝑞 ∨ ~𝑟) ∨ 𝑠 pode ser classificada como uma condicional.Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:a) V – V – F – F.b) V – F – V – F.c) V – F – F – V.d) F – V – F – V.e) F – F – V – V.7 89 1011 1201/02/20203Resolução:• Pelas regras de precedência, primeiro avaliamos a negação, depois a conjunção e disjunção, em seguida a condicional e, por fim, a bicondicional. No entanto, quando temos parênteses existem as alterações nas regras de precedência.• A proposição ~𝑝 ∧ 𝑟 → 𝑟 ∨ 𝑞 pode ser classificada como uma condicional, porque, pelas regras de precedência, primeiro avaliamos os termos ~𝑝 ∧ 𝑟 e 𝑟 ∨ 𝑞, e por fim, ~𝑝 ∧ 𝑟 →𝑟 ∨ 𝑞. Logo, a primeira afirmação é falsa (F).Resolução:• A proposição (𝑝 → 𝑟) ∨ (~𝑞 ∧ 𝑟) pode ser classificada como uma disjunção. Devido às regras de precedência e presença de parênteses, primeiro avaliamos os termos (𝑝 → 𝑟) e ~𝑞 ∧ 𝑟 para, por fim, analisar a proposição completa 𝑝 → 𝑟 ∨~𝑞 ∧ 𝑟 . Assim, a segunda afirmação é falsa (F).• A proposição ~𝑝 ↔ 𝑞 ∨ ~𝑟 pode ser classificada como uma bicondicional. Pelas regras de precedência primeiro consideramos os termos ~𝑝 e 𝑞 ∨ ~𝑟 , por fim, avaliamos ~𝑝 ↔ 𝑞 ∨ ~𝑟 . Dessa forma, a terceira afirmação é verdadeira (V).• A proposição 𝑝 → (𝑞 ∨ ~𝑟) ∨ 𝑠 pode ser classificada como uma condicional. Pelas regras de precedência e presença de parênteses, Resolução:Dessa forma, a terceira afirmação é verdadeira (V).• A proposição 𝑝 → (𝑞 ∨ ~𝑟) ∨ 𝑠 pode ser classificada como uma condicional. Pelas regras de precedência e presença de parênteses, consideramos inicialmente 𝑞 ∨ ~𝑟 , em seguida os termos 𝑝 e (𝑞 ∨ ~𝑟) ∨ 𝑠, por fim, 𝑝 → (𝑞 ∨~𝑟) ∨ 𝑠. Sendo assim, a quarta afirmação é verdadeira (V).Construção de tabela-verdadeConstrução de tabela-verdade Determinar número de linhas na tabela-verdadeem função das proposições simples presentes naproposição composta; Preencher as colunas com os valores lógicos V ou F; Identificar a precedência dos conectivos para ainserção de colunas adicionais; Identificação dos valores lógicos das proposições intermediárias; Cálculo do valor lógico da proposição composta final.ExemplificandoExemplo: 𝑝 → 𝑞 → ~𝑞 → ~𝑝𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 𝑝 → 𝑞 → ~𝑞 → ~𝑝𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝑉 𝑉 𝑉𝑉 𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝑉𝐹 𝑉 𝑉 𝐹 𝑉 𝑉 𝑉𝐹 𝐹 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉Proposições simplesProposições compostas13 1415 1617 1801/02/20204Construção com duas proposições simplesT(p,q): (p ∧~q)V (q∧~p)É necessário determinar o numero de linhas da tabela-verdade, sabendo que para duas proposições são 22 = 4 linhas, pois temos a proposição p e q. Montando a tabela com 4 linhas:p qV VV FF VF FConstrução com duas proposições simplesA precedência na tabela verdade deve observar:1.Negações duplas ou simples sobre proposições simples;2.Considere os conectivos dentro dos parênteses, efetuando primeiro as expressões dentro dos parênteses mais internos;3.Conjunções e Disjunções;4.Condicional;5.BicondicionalInserindo valores lógicosT(p,q): (p ∧~q)V (q∧~p) e Resolvendo:p q ~p ~q (p ∧~q) (q ∧~p) (p ∧~q)V (q∧~p)V V F F F F FV F F V V F VF V V F F V VF F V V F F FTabela -verdade1) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R∧T) V (~R), a tabela-verdade correspondente será a seguinte:VerdadeiroR T (R∧T) V (~R)V V VV F FF V VF F VResultados na Tabela Verdade19 2021 2223 2401/02/20205Resultados das validaçõesQuando trabalhamos com proposições compostas, é comum realizarmos a validação entre as suas proposições, mesmo que cada proposição seja composta por outras proposições combinadas porconectivos.Os resultados das validações recebem nomes especiais; tautologia, contradição e contingência.TautologiaProposições compostas que sempre assumemvalor lógico verdadeiro.Proposição composta cuja última coluna de suatabela-verdade assume o valor lógicoverdadeiro, independentemente dos valoreslógicos das proposições simples que aconstituam.Exemplo:𝑝 → 𝑞 → ~𝑞 → ~𝑝ContradiçãoProposições compostas que sempre assumemvalor lógico falso.Proposição composta cuja última coluna de suatabela-verdade assume o valor lógico falso,independentemente dos valores lógicos dasproposições simples que a constituam.Exemplo:𝑝 ↔ ~𝑝ContingênciaProposição que não é tautologia e nem umacontradição.Proposição composta que pode assumir tantovalores lógicos verdadeiros quanto falsos, emfunção dos valores das proposições simples quea constituam.Exemplo:~𝑝 → 𝑞Equivalências lógicasProposições p e q são equivalências lógicas quando a proposição 𝑝 ↔ 𝑞 for uma tautologia.Notação: 𝑝 ⇔ 𝑞Exemplo:𝑝 → 𝑞 ↔ ~𝑞 → ~𝑝Observação: Se duas proposições são equivalentes do ponto de vista lógico, então suas tabelas-verdade são iguais.Proposições compostas:Se houver chuva e as plantas forem adubadas,então estas produzirão.p: ocorrência de chuvasq: plantas adubadasr: existência de produçãoPensando na resolução : 23 = 8 linhas𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟25 2627 2829 3001/02/20206Tabela-Verdade𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉𝑉 𝑉 𝐹 𝑉 𝐹𝑉 𝐹 𝑉 𝐹 𝑉𝑉 𝐹 𝐹 𝐹 𝑉𝐹 𝑉 𝑉 𝐹 𝑉𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝑉𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝑉𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑉ValidaçõesArgumentosDedutivos, indutivos, consistentes e inconsistentesTipos de argumentosAfirmações: “É lógicoque a água é molhada”; “Élógico que o gelo é frio”; “É lógico que o carvão éescuro”. “É lógico que todo animal que vive nooceano é peixe”.Será que constituem argumentos do ponto de vista da lógica? São logicamente válidas?Dedutivos, indutivos, consistentes e inconsistentesRaciocínio 1:Todas as aves tem penas.Todos os animais com penas voam.Existem mamíferos que voam.Conclusão: existem mamíferos que são aves.Como fazer para decidir se estes argumentos são validos ou inválidos, do ponto de vista da lógica formal? Poderíamos chamá-los de argumentos bons ou ruins?É possível identificar padrões para argumentos válidos e inválidos?Argumento Conjunto de proposições utilizadas parajustificar um enunciado (conclusão). Contém, no mínimo, uma premissa. Premissa é o enunciado, no argumento, queapoia, justifica e dá o porquê do que é afirmadoou negado pelo enunciado-conclusão. Podem ter uma única conclusão.31 3233 3435 3601/02/20207Argumento válido e inválidoUma coleção de enunciados pode ou nãoconstituir um argumento.Argumento válido: a conclusão é verdadeira etodas as suas premissas são verdadeiras.Observação: no estudo da validade de umargumento, avaliamos o relacionamento lógicoentre as premissas e a conclusão, e não o valor deverdade, material ou factual, das premissas.Argumento inválido: a conclusão é falsa, ainda quetodas as premissas sejam verdadeiras.Diagramas das proposiçõesRepresentação de proposições por meio dediagramas:Existe x que é y:Não existe x que é y:Diagramas das proposiçõesExiste x que não é y:Todo x é y:ArgumentosIndução: argumentar a partir de situaçõesparticulares para obter conclusões mais gerais.Argumento indutivo: conclusão apresenta umaprobabilidade de ser verdadeira.Dedução: argumentar a partir de situações geraispara situações particulares.Argumento dedutivo: conclusão é certamente verdadeira se as premissas forem verdadeiras.Consistentes e InconsistentesProposições p e q consistentes: Há ao menos uma linha nas tabelas-verdadeonde os valores lógicos são ambos verdadeiros.Existe ao menos uma situação na qual ambas asproposições são verdadeiras.Proposições p e q inconsistentes:Não há nem mesmo uma linha nas tabelas-verdade onde os valores lógicos são ambos verdadeiros.Não pode ocorrer que ambas as proposições sejam verdadeiras simultaneamente.ExemplificandoO gelo é frio.Não é argumento lógico.O enunciado não apresenta outro enunciadoque o justifique ou apoie de forma articuladacom evidências.37 3839 4041 4201/02/20208Resolvendo...Raciocínio 1:Todas as aves tem penas. (premissa)Todos os animais com penas voam. (premissa)Existem mamíferos que voam. (premissa)Conclusão: existem mamíferos que são aves.Logo, não é possível concluir se existem mamíferos que são avesMamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamMamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamMamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamLogo, não é possível concluir se existem mamíferos que são avesArgumento inválidoArgumentos1) Analise as premissas e diga se o argumento é válido:Todas as aves tem penas. (premissa)Todos os animais com penas voam. (premissa)Existem mamíferos que possuem penas.(premissa)Conclusão: existem mamíferos que voam.43 4445 4647 4801/02/20209MamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamMamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamMamíferosAnimais com penasAvesAnimais que voamPortanto, existem mamíferos que voamArgumento válidoViram como a lógica é importante e as diversas situações surgem diferente do que imaginamos?Recapitulando Definição de tabela-verdade; Construção de tabela-verdade; Validação entre as suas proposições; Argumentos Dedutivos, indutivos, consistentes e inconsistentes.49 5051 5253 5401/02/20201055